概率论教学大纲( 概念公式总结)

《概率论基础》教学大纲 概率论基础》 基础

山西财经大学本科生应用数学系课程教学大纲 课程名称:概率论基础 课程英文名称:Probability Theory base 学时数: 64 学时(课堂讲授 54 学时,*题课 10 学时) 学分数:4 学分 适用专业:应用数学专业 开课学期:第Ⅲ或第 IV 学期 第一部分 大纲说明 一、课程的性质与任务 《概率论基础》是研究大量随机现象客观规律性的一门数学课程。随着现代科学技术的迅速发展,概率论也得到了蓬勃的发展。它 不仅形成了结构宏大的理论体系,而且在很多科学研究、工程技术和经济管理等领域里有愈来愈多的应用。同时概率论基础也是数理统 计和统计学的学*前提。由于其应用的广泛性和理论的重要性,《概率论基础》被列为我校应用数学系的一门重要的必修课。概率论有 其独特的思维方式,通过各个教学环节,逐步培养学生处理随机现象的能力和综合运用所学思维方法和知识分析问题、解决有关实际问 题的能力。为学生学*后续课程和进一步获得*代科学技术和管理技术知识奠定必要的数学基础。 二、课程的教学基本要求 1、概率论是研究随机现象客观规律的一门科学。通过本课程的学*,使学生对概率的概念和方法有全面、深入的理解,掌握概率 常用方法的基本思想;使学生建立随机的思想,认识到随机现象存在的普遍性、概率应用的广泛性和学好这门课的重要性。

2、通过概率论的学*,使学生掌握概率论的基础知识,了解概率论公理化体系,为后续课程---数理统计的学*打下必要的基础。
3、通过概率论的学*,使学生初步掌握概率方法在实际中的应用,并能用一些方法处理较简单的实际问题。 三、学时分配: 因本课程涉及数学分析等预备知识,故建议放在第三学期或第四学期。本课程共 64 学时(讲授 54 课时,*题课 10 课时),4 学分。教材建议选用复旦大学李贤*编著的《概率论论基础》。

序号

内容 第一章 随机事件与概率 第二章 条件概率与统计独立性 第三章 随机变量及其分布

学时

1 2 3

8+2 6+2 10+2

1

4 5

第四章

随机向量及其分布

10+2 12+2

第五章 数字特征及特征函数

6

第六章

极限定理

8

四、参考书目: 1、《概率论与数理统计》(第三版)浙江大学盛骤等编,高等教育出版社。 2、《概率统*坛獭犯呶纳 张魁元编,东北师范大学出版社。 3、《概率论与数理统计》中山大学数学力学系编 人民教育出版社 4、 《概率论与数理统计》 陈希孺 编著 中国科学技术大学出版社

5、 《概率统计复*和解题指导》同济大学工程数学教研室编著 6、 《概率论与数理统计》龙永红主编 五、关于本大纲的说明 1.本大纲系依据教育部考试中心颁发的 07 年硕士数学一考试大纲的要求,按照山西财经大学本科课程教学大纲管理条例,结合 我校相关数学专业需求的具体情况制定的,适合于对数学知识需求较多的专业使用。 2.任课教师可根据教学实际情况适当处理,亦可根据教学对象适当增加少量大纲规定之外的内容。 3.带*号的部分可根据具体情况选讲。 第二部分 教学内容及其要求 高等教育出版社

第一章 考试内容

随机事件与概率( 学时) 随机事件与概率(8+2 学时)

随机试验与样本空间 概率的基本性质 考试要求

随机事件

事件的关系与运算

完备事件组

频率与概率

古典概率

几何概率

概率的公理化定义

1 了解样本样本点、样本空间(基本事件空间)概念,理解随机事件的概念,掌握随机事件的关系和运算及运算规律。 2 了解概率概念的发展背景,掌握古典概率、几何概率的基本计算方法。 3 理解概率的公理化定义、掌握概率的基本性质及其推论,并能熟练应用。掌握概率的加法公式,减法公式。 §1 预备知识…. 一、两个基本原理 1 加法原理 2 乘法原理 二、排列 1 线性排列 2 环形排列

2

三、组合 1 不允许重复的组合 2 允许重复的组合 §2 随机试验与样本空间… 一、随机试验 二、样本空间 §3 随机事件. 一、事件 二、事件间的关系及运算 三、事件间运算规律 §4 概率的统计学定义 一、频率及其性质 二、概率统计学定义 §5 概率的古典定义 一、古典试验 二、典例… .

§6 古典概率的性质 一、性质 1、非负性: P 2、规范性: P

( A) ≥ 0; ( ) =1;
A1 , A2 , , An 互不相容,则

3、有限可加性:

P( A1 + A2 + + An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + + P( An )
二、应用 §7摸球问题的演绎 一、超几何概率模型 二、贝努利概型 三、几何概率模型 §8 概率的几何定义… 一、问题的提出 二、定义及性质 1、非负性: P 2、规范性: P

( A) ≥ 0;

( ) = 1;
3

3、可列可加性: P 三、典例 四、几何概率的特例

∞ Ak = ∑ P( Ak ) ,其中 A1 , A2 , 互不相容. ∪ k =0 k = 0



§9 概率的公理化定义 一、定义称集合实函数 P(.)为概率,若 P(.)满足下列公理 (1)对任一事件A,有 P (2) P

( A) ≥ 0;

( ) = 1;
∞ ∞ A1 , A2 , ,有 P ∑ Ak = ∑ P( Ak ) k =1 k =1

(3)对任一互不相容的可数事件列

二、性质 三、性质的应用 §10 概率的进一步性质 一、事件域 二、两个特殊的域 三、关于测度 四、概率的单调性,上连续性,下连续性 五、有限可加性与可列可加性 条件概率与统计独立性 概率与统计独立性( 学时) 第二章 条件概率与统计独立性(6+2 学时) 考试内容 条件概率及其性质 及独立试验序列 考试要求 1 理解条件概率的概念,掌握其基本性质,会计算一些有条件事件的概率。 2 掌握乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。 3 准确理解独立事件的概念,并会用其性质计算一些复杂事件的概率。 4 掌握贝努利试验概型。理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法。 §1 条件概率… 一、条件概率的引入 二、条件概率的定义 三、条件概率的性质 乘法公式 贝叶斯(Bayes)公式
*

全概率公式 两个事件的独立性、多个事件的独立性及其结论

独立试验

贝努利试验及其 n 重贝努利试验

贝努利试验的推广

4

1 非负性 2 规范性

P(B A) ≥ 0; P( A) = 1;
∞ ∞ P ∪ Bk A = ∑ P(Bk A), 其中 B1 , B2 , 互斥. k =1 k =1

3 可列可加性

4P

(Φ A) = 0;
n n P ∪ Bk A = ∑ P(Bk A), 其中 B1 , B2 , Bn 互斥. k =1 k =1

5 有限可加性

6 B1

B2 , P (B2 B1 A) = P(B2 A) P(B1 A); 若B1 B2 , 则 P(B2 A) ≥ P(B1 A);

推抡 1 推抡 2 7P 8P

0 ≤ P (B A) ≤ 1
2 1 2 1 2

(B + B A) = P(B A) + P(B A) P(B B A);
1

(B A) = 1 P(B A).

§2 乘法定理 一、乘法定理

P( A1 A2 An ) = P( A1 )P(A2 A1 )P(A3 A1 A2 ) P(An A1 A2 An 1 ),
其中

P ( A1 A2 An 1 ) > 0
二、乘法公式的应用 §3 两个重要公式 一、全概率公式 定理 1 设 A1 , A2 ,, An , 是一随机试验的完备事件组,B 为某随机事件, P

( An ) > 0, n = 1,2, ,则

P (B ) = ∑ P( An )P (B An )
n =1



二、贝叶斯公式 定理 2 设 A1 , A2 ,, An , 是一随机试验的完备事件组,B 为某随机事件,若 P

( An ) > 0, n = 1,2, ,P(B)>0,则

5

P( Ak B ) =

P( Ak )P(B Ak )

∑ P( A )P(B A )
k =1 k k



, k = 1,2, .

§4 随机事件的独立性 一、两个事件的独立性 1 定义 2 结论 二、多个事件的独立性 1 定义 2 结论 三、事件的独立性在概率计算中的应用 §5 试验的独立性与贝努利试验概型 一、独立实验 二、贝努利试验概型 三、贝努利试验中的一些重要分布
*

§6 贝努利试验的应用 一、分赌问题 二、有吸收壁的点随机游动问题

*

§7 贝努利试验的进一步讨论 一、贝努利试验成功 r 次而终止 二、无限次的贝努利试验 三、贝努利试验的推广 第三章 考试内容 随机变量的分布( 学时) 随机变量的分布(10+2 学时) 随机变量的分布函数的概念及其性质 常见连续型分布 离散型随机变量的概率分布(分布列)及其性质 常见离散型分

随机变量及其概率分布 布列 考试要求

连续型随机变量的概率密度及其性质

随机变量函数的概率分布

1 理解随机变量及其概率分布的概念;理解分布函数 F

(x ) = P( X

≤ x ),∞ < x < +∞ 的概念及性质。

2 会计算与随机变量相关的事件的概率。 3 理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握 0-1 分布 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布(Posisson)及其应用。

4 理解二项分布的泊松*似,并会用泊松分布*似表示二项分布。 5 理解连续型随机变量及其概率密度的概念;掌握概率密度与分布函数之间的关系。

6 掌握均匀分布 U

(a, b ) 、指数分布 e(λ ) 、正态分布 N ( , σ 2 ) 及其应用。
6

7 掌握求随机变量函数分布的一般方法。 §1 随机变量 一、随机变量的引入 二、随机变量的定义 §2 分布函数 一、随机变量的分布函数 二、分布函数的性质

1 单调不减性:任取 x1 < x 2 , 有 F ( x1 ) ≤ F ( x 2 ); 2 规范性:

lim F (x ) = 0, lim F (x ) = 1
x → ∞ x → +∞

3 右连续性:

lim F (x ) = F (x ).
+ x ← x0

0

§3 离散型随机变量的分布列

一、

分布列

1 非负性: p ( xi ) ≥ 0, 2 规范性:
`

i = 1,2,

∑ p( x ) = 1
i i

二、分布列与分布函数的关系

1 P{X ∈ B} = 2 F (x ) =

xi ∈B

∑ p( x )
i i

xi ≤ x

∑ P( X = x )

3 pi = P ( X = xi ) = F ( xi ) F ( xi 0 ), i = 1,2,
§4 几种常见的离散型分布

一、.退化分布 二、0-1 分布 三、n 个点上的均匀分布 四、二项分布 三、几何分布 性质 X ~ g

( p; k ) 对任意整数 m, n 有 P(X

> n + m X > m ) = P( X > n )

六、超几何分布 七、泊松分布 八、 帕斯卡分布 §5 连续型随机变量的概率密度 一、概率密度

F ( x) = ∫

x ∞

f (t )dt
(-∞< x <+∞)

性质 1 f (x ) ≥0

7

性质 2



+∞ ∞

f (t )dt = 1
x2 x1

二、概率密度的应用

P ( x1 < X ≤ x 2 ) = ∫
§6 常见的连续型分布 一、 均匀分布 U

f (t )dt

(a, b )
a≤x≤b 其他

概率密度:

1 f ( x) = b a 0
三、指数分布 e 概率密度:

(λ )
x>0 x≤0

λe λ x f ( x) = 0
其中 λ > 0.

定理 1 随机变量 X 取非负数,

X

服从指数分布的充要条件是:对任意非负数 t1 , t 2 , 有

P( X > t1 + t 2 X > t1 ) = P( X > t 2 )

四、韦布分布 W 概率密度:

(m,ν , x0 )
m

( x ν ) m m 1 x0 , x ≥ν f ( x) = x (x ν ) e 0 0. x <ν

其中, m > 0, 为形状参数,ν 为位置参数, x 0 为尺度参数。

五、正态分布 N 概率密度:

( , σ )
2

(x ) =
定理 若

1 2π σ

e
2



( x )2
2σ 2

(∞ < x < +∞)

X

N ( , σ

),X* =

X

σ

,则

X * N (0,12 ) 。

8

§7 随机变量函数的分布 一、 离散型随机变量函数的分布列 二、连续型随机变量函数的概率分布 定理 设随机变量 X 的密度函数为

f ( x ), 函数 y = g ( x ) 严格单调,则随机变量 Y = g ( X ) 的密度函数为

′ f g 1 ( y ) g 1 ( y ) , a < y < b fY ( y ) = 0, 其它

[

](

)

其中 a

= min{g ( x ), x ∈ C X }, b = max{g ( x ), x ∈ C X }。
随机向量及其分布( 学时) 第四章 随机向量及其分布(10+2 学时) 考试内容 随机向量的(联合)分布函数、边缘分布函数、条件分布函数 离散型随机向量的(联合)概率分布(分布列)、边缘分布列和 随机变量的独立性和相关性 常见二维随机向

条件分布列

连续型随机向变量的(联合)概率密度、边缘概率密度和条件概率密度

量的(联合)分布列、(联合)概率密度

(二维均匀分布与二维正态分布) 两个及两个以上随机变量的函数的概率分布(分布函数、

分布列、概率密度),随机变量的独立性,随机向量简单函数的概率分布,n 维随机向量。 考试要求 1 了解二维随机向量的概念,理解二维随机向量分布函数的概念与性质。 2 理解二维离散型随机向量及其概率分布的概念与性质,了解其边缘分布及条件分布的概念。 3 理解二维连续型随机向量及其概率密度的概念与性质,了解其边缘概率密度及条件概率密度的概念。 4 掌握二维均匀分布,了解二维正态分布。 5 理解随机向量相互独立的概念,掌握离散型和连续型随机变量独立的充要条件。 6 会求两个随机变量简单函数的概率分布。 7 了解 n 维随机向量 §1 随机向量的分布函数 一、随机向量 二、 (联合)分布函数 定义: F 性质: 1 单调不减性:任取 x1

(x1 , x2 , , xn ) = P{X 1 ≤ x1 , X
< x 2 , (或y1 < y 2 ), 有

≤ x2 ,, X n ≤ xn }

F(x 1 , y ) ≤ F(x 2 , y )(或F(x , y1 ) ≤ F(x, y1 )) 2 F ( x, y )分别关于x,y单调不减且右连续;
3 F ( ∞, y ) = lim F ( x, y ) = 0
x → ∞

9

F ( x,∞ ) = lim F ( x, y ) = 0
y → ∞

F ( ∞,∞ ) = F (+ ∞,+∞ ) =
4 则:

x → ∞y → ∞

lim

F ( x, y ) = 0 F ( x, y ) = 1

x → +∞ , y → +∞

lim

设 F ( x, y ) 是一个二维随机向量(X,Y)的分布函数,任取 c < a , d < b

F ( a , b ) — F (c, b ) — F ( a , d ) + F ( c, d ) ≥ 0
三、边缘分布函数 四、条件分布函数 §2 离散型随机向量的(联合)分布列 一、 (联合)分布列 1 定义

P (X = xi , Y = y j ) = p ij ,
2 性质:

i, j = 1,2,

(1) pij
i

≥ 0;

(2) ∑∑ pij
j

= 1.

二、边缘分布列 三、条件分布列 §3 连续型随机向量的概率密度 一、 (联合)概率密度

1 定义 2 性质

F ( x, y ) =

∞ ∞

∫ ∫ f (u, v )dudv

x y

(1) f ( x, y ) ≥ 0; (2)


∫ ∫ f (x, y )dxdy = 1
∞ ∞

+∞ +∞

两个重要分布

1 多维均匀分布 联合密度函数

1 , (x , x ,, x n ) ∈ D f ( x1 , x 2 , , x n ) = S D 1 2 0, ( x1 , x 2 , , x n ) D
2 多维正态分布

10

联合密度函数

f (x ) =

1

(2π )

n 2

1 T exp ( x a ) B 1 ( x a ) 2 B
1 2

b11 b12 b1n b21 b22 b2 n T T 其中: x = ( x1 , x n ) , a = (a1 , a 2 , , a n ) , B = , 正定矩阵. bn1 bn 2 bnn
三、边缘概率密度 四、条件概率密度 §4 随机变量的独立性 一、随机变量的独立性

F ( x, y ) = FX ( x ) FY ( y )
二、离散型随机变量的独立性 结论:随机变量 X 与 Y 相互独立的充要条件是:

P{X = xi , Y = y j } = P{X = xi }P{ = y j } i, j = 1,2, Y
三、连续型随机变量的独立性 结论:X,Y 独立的充要条件为 §5 随机向量函数的分布 一、 离散型随机向量函数的分布列 二、连续型随机向量函数的概率分布

f ( x, y ) = f X ( x ) f Y ( y )

Z = X + Y 的分布 (2) Z = XY 的分布 X (3 ) Z = 的分布 Y
(1 ) (4 ) Z (5 ) Z (6 ) Z

= max( X , Y ) 的分布 = min( X , Y ) 的分布
= max ( X 1 , X 2 , , X n ) 的分布

第四章 教学内容 教学内容 数学期望 心矩 协方差 教学要求 教学要求

数字特征与特征函数( 学时) 数字特征与特征函数(12+2 学时) 与特征函数

条件数学期望

随机变量函数的数学期望 熵 特征函数

随机向量函数的数学期望

k 阶原点矩

方差

均方差(标准差) k 阶中

协方差矩阵

相关系数

1 理解随机变量数学期望和方差的概念,掌握数学期望和方差的性质,会用这些性质进行计算。

11

2 理解随机变量函数的数学期望公式并能正确运用。 3 理解数字特征的直观意义,了解矩的概念。 4 掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望和方差。 5 理解随机变量协方差和相关系数的概念和性质,了解随机变量的矩和协方差矩阵的概念。 6 了解熵的含义,理解特征函数的定义。 §4.1 数学期望 一、 定义

1 离散型

EX = ∑ xi p (xi )
i

2 连续型

EX =

+∞



∫ xf (x )dx
+∞

3 一般型

EX =



∫ xd F (x )

二、重要分布的数学期望

1 (0-1)分布

EX = p

2 二项分布 b

(n. p ) (λ )

EX = np
EX = λ

3 泊松分布 P

4 几何分布 q

( p)

EX =

1 p
M N M N N

5 超几何分布 H

(N , M , n)

EX = n a+b 2

6 均匀分布 U

(a, b )

EX =

12

7 指数分布 e

(λ )
N ,σ 2

EX =

1

λ

8 正态分布

(

)

EX =

§4.2 数学期望的性质 一、随机变量函数的期望

1 离散型

EX = ∑ g ( xi )p ( xi )
i

2 连续型

EX =

+∞



∫ g (x ) f (x )dx
+∞

3 一般型

EX =



∫ g (x )d F (x )

二、随机向量函数的期望

1 离散型

Eg ( X , Y ) = ∑∑ g (xi y j )p (xi , y j )
i j

2 连续型

Eg ( X , Y ) =

+∞+∞

∞ ∞

∫ ∫ g (x, y ) f (x, y )dxdy

三、期望的性质

1E

(x ) = x

2

E(X + x) = E(X ) + c E (cX + x ) = cE ( X ) + x E (c1 X + c 2Y ) = c1 E ( X ) + c 2 E (Y )

3

4

四、应用

13

§4.3 条件期望 一、 条件期望的概念

1 离散型

E ( X y j ) = ∑ xi p xi y j ;
i

(

)

E (Y xi ) = ∑ y j p (x j xi );
j

2 连续型

E (X y ) =

+∞



∫ xf (x y )dx ,

E (Y x ) =

+∞



∫ yf ( y x )dy

二、最佳线性预测

E (Y x ) = 2 + ρ

σ2 ( x 1 ) σ1

E ( X y ) = 1 + ρ

σ1 (y 2 ) σ2

§4.4 方差 一、 方差的定义

E ( X EX )

2

DX = EX 2 (EX )

2

二、常用分布的方差

1 (0-1)分布

DX = pq

2 二项分布 b

(n. p ) (λ )

DX = npq
DX = λ

3 泊松分布 P

4 几何分布 q

( p)

DX =

q p2
M N M N 1 N N N n

5 超几何分布 H

(N , M , n)

DX = n

6 均匀分布 U

(a, b )

DX =

(b a )2
12

14

7 指数分布 e

(λ )
N ,σ 2

DX =

1

λ2

8 正态分布

(

)

DX = σ 2

三、性质

1

D(c ) = 0 D( X + c ) = DX
D (aX + c ) = a 2 D ( X )

2

3

4

DX ≤ E ( X c )

2

四、 §4.5 一、 协方差 1、 定义 协方差与相关系数

Cov( X , Y ) = E ( X EX )(Y EY )
2、 性质

1 2 3 4 5

cov(X,X)=DX;

cov( X , Y ) = cov(Y , X ) ; cov(aX , bY ) =ab cov( X , Y ) ,a,b 为任意常数; cov( X , C ) =0;C 为任意常数; cov( X + Y , Z ) = cov( X , Z ) + cov(Y , Z ) ;

6 如果 X、Y 相互独立,则 cov( X , Y ) =0; 7 如果 X,Y 方差存在,则协方差一定存在,并且满足不等式 | cov( X , Y ) | ≤ E|(X—EX)(Y—EY) ≤

DX DY
15

8 如果 X,Y 为任意两个随机变量,并且其方差分别都存在,则 X+Y,X-Y 的方差也存在,且 D(X+Y)=DX+DY+2 cov( X , Y ) D(X-Y)=DX+DY-2 cov( X , Y ) 特别地,如果 X,Y 相互独立,有 D(X ± Y)=DX+DY

9 如果随机变量 X , Y 的方差存在,则有

EXY

2

≤ EX 2 .EY 2

这就是著名的柯西-许瓦斯不等式。

二、相关系数 1、 定义 2、 性质 3、 常用公式
*

§4.6 熵

一、不确定性 二、试验的熵

H (α ) = ∑ p ( Ai ) log p ( Ai )
i =1

n

三、基本性质
*

§4.特征函数

一、定义

(t ) = Ee

itX

=

+∞



∫e

itx

dF ( x )

二、常用分布的特征函数 三、性质

1

(0) = 1 , (t ) ≤ (0)

16

2

(t ) 在 ( ∞,+∞ ) 一致连续连续

3 非负定性

∑∑ (t
n n i =1 j =1

i

t j )xi x j ≥ 0 , t i , t j 为任意实数, xi , x j 为任意复数。

4

(k ) (0) = i k EX k

大数定律与中心极限定理( 学时) 第五章 大数定律与中心极限定理(8 学时) 教学内容 教学内容 切比雪夫不等式,依概率收敛,依分布收敛,切比雪夫大数定律,伯努利 大数定律,锌钦大数定律,德莫弗—拉普拉斯定理,列 维—林德伯格定理,李雅普诺夫定理。 教学要求 1 了解切比雪夫不等式。 2 了解依概率收敛的概念。 3 了解依分布收敛的概念。 4 了解切比雪夫大数定律,伯努利大数定律和锌钦大数定律。 5 了解德莫弗—拉普拉斯定理,列维—林德伯格定理和李雅普诺夫定理。 6 掌握大数定律和中心极限定理的使用。 §5.1 切比雪夫不等式 一、 矩

1 原点矩

α k = EX k , k = 1,2,.

2 中心矩

β k = E ( X EX )k , k = 1,2,.

二、两个不等式 1 马尔科夫不等式

X

为只取非负值的随机变量,则对任意给定的常数 ε

> 0 ε > 0有

P{X ≥ ε } ≤

E( X )

2 切比学夫不等式 设随机变量 X 的方差存在且有界,则对于任意的 ε >0,恒有:

ε

P{| X EX |≥ ε } ≤
§5.2 大数定律

DX

ε2

17

一、依概率收敛 二、大数定律

1 贝努利大数定理

设 n 为 n 重贝努力试验中事件 A 发生的次数, p 为每次试验事件 A 发生的概率, (0<

p <1) ,则对任意的正数

ε ,有
n
n p |< ε } =1

lim P{|
n →∞

2 泊松大数定理在 n 次独立实验中, n 为 n 次试验中事件 A 发生的次数,第 k 次试验事件 A 出现的概率为 的正数 ε ,有

p k ,k=1,2,….

则对任意

lim P{|
n →∞

n
n



∑p
k =1

n

k

n

|< ε } =1

3 切比雪夫大数定理 设 X 1,X 2,X 3, ,X n, 是一列两两不相关的随机变量,它们的数学期望 EX i 和方差 DX i 都
存在有界,即存在常数 C,使得 DX i ≤C , i

= 1、、 则对任意的正数 ε , 23

lim P{|
n →∞

1 n 1 n X i E ∑ X i |< ε } =1 ∑ n i =1 n i =1

4 马尔科夫大数定理 设 X 1,X 2,X 3, ,X n, 是一列随机变量,只要
n 1 D∑ X i = 0 lim n 2 i =1 n→ ∞

则对任意的正数 ε ,

lim P{|
n →∞

1 n 1 n X i E ∑ X i |< ε } =1 ∑ n i =1 n i =1

5 辛钦大数定理 设 X 1,X 2, ,X n, 是独立同分布的随机变量,其数学期望存在,记 EX i = ,则对任意的正数 ε 有

lim P{|
n →∞

1 n ∑ X i |< ε } =1 n i =1

18



1 n → ∑ X i P n i =1

三、大数定律的作用

§5.4 中心极限定理 一、 依分布收敛 二、中心定理

1 林德伯格—勒维定理



X 1,X 2, ,X n, 是独立同分布的随机变量,其数学期望存在,记

E

X i = ,D X i = σ 2

>0

i = 1、2、3……则有

n ∑ X i n 1 P i =1 ≤ x = lim nσ n→∞ 2π
2 棣末佛拉布拉斯定理



+∞



e



t2 2

dt

设随机变量 X 服从二项分布 b(k,n,p)其中 0〈

p 〈1,则对任何-∞<x<+∞有

X np 1 (1) lim P < x = npq 2π n→∞
(2)对任意的 k,当 n 趋于无穷大时有



x



e



t2 2

dt

1 P{X=k} → npq
3 李雅普诺夫定理 设

1 2π

e



2 xk 2



X 1,X 2, ,X n, 是独立随机变量序列,若存在 δ > 0, 使得
2 +δ

lim B
n→ ∞

1
n+

δ

∑ E X k
k =1

n

=0

则对于 x ∈

( ∞,+∞ ) 一致地有
n X k P ∑ k lim k =1 Bn ≤ x = n→∞
1 2π
+x



∫e



t2 2

dt

19

其中 EX k

2 = k , Bn = ∑ DX k k =1

n



20


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